數學隨想

1.2    從案前到跑道

「好故事，好數學。」

1.2.1        有向數

我並不十分滿意上面放筆的故事，我開始想另一個故事。然後我就站到田徑場的跑道上。

        我站在起跑線上，向前走一步，然後說：「一」。

        和放筆的故事一樣，我可以依樣畫葫蘆地創造數字。我走了「十步」後就說走了「一段」，走了「十段」就走了「一大段」（或是走完一個「二級段」）。無論我走多少步，我都可以用剛才的數字表示。

        但為什麼我要另外說這個跑道的故事？和放筆的故事有什麼分別？

        在跑道上，我可以後退。

「後退？在筆的故事裏『拿掉筆』不是一樣的概念嗎？」

        如果我案上沒有筆，我根本不能拿掉任何筆。（有人可能會說從沒有筆的桌上拿掉一支筆的話，桌子就欠我一支筆，這怎麼想也是一個弔詭的說法。）

        但在跑道上，即使我已在起跑線上，我還是可以向後退。我必需更準確地描述跑道上的步數：

        當我向前走一步，我說：「前一。」

        如此類推我就有「前一」、「前二」、「前三」……並用「+1」、「+2」、「+3」……表示。

        當我向後走一步，我說：「後一。」

        如此類推我就有「後一」、「後二」、「後三」……並用「-1」、「-2」、「-3」……表示。

        我在原有的數字前加了方向，於是我把這些新的數字命名：「有向數」。

1.2.2        有理數

我走回起跑線上。現在跑道上有很多刻度。

我從百寶袋裏拿出一分為二刀朝天靈蓋一砍，得到了兩個自己。現在我和「我」一同站在起跑線上。

我把我叫做「馬利奧」，把「我」叫做愛麗絲。

我們同時伸手入百寶袋找啊找，馬利奧吃掉找到的毒蘑菇，而愛麗絲則喝下找到的神秘藥水。

馬利奧變小了，眼前跑道的刻度變遠了。

再一次，馬利奧每走一步，就在腳下劃下刻度，+1、+2、+3、……、-1、-2、-3、……

把兩個圖合併來看，我必須找個方法分開紅色和黑色刻度上的數字。

從圖中可見，馬利奧這次向前走了兩步才走到原本黑色的「1」。事實上，馬利奧每走2步就會找到1個原本黑色的刻度。

於是我在原本每個紅色的數字底下都加上一個「2」字，如下圖：

        於是我就得到  

        我也順勢把毒蘑菇叫做「毒蘑菇2」。

        事實上我的百寶袋裏還有「毒蘑菇3」、「毒蘑菇4」、……

        吃下毒蘑菇3自然就會得到   ，比較圖如下：

        組合起來的話：

        我把這些新的數字歸納起來，稱之為：「有理數」。

1.2.3        問題

問題一：

還記得愛麗絲嗎？她喝下了神秘藥水後向前走了十步才到了原本黑色的「+1」。試續說愛麗絲的故事並建構「小數」的故事，同時解釋何為「十分位」、「百分位」……

（顯然「小數」是有理數的一種。這裏我們先略過「無限循環小數」不提，留待後面「等比數列」再詳說。）

問題二：

在跑道的故事裏，什麼是「加」、「減」、「乘」、「除」？

（在放筆的故事中的「加」與「減」：

在筆的故事裏，如果我有兩張桌，第一張桌上有三支筆，第二張桌有四支筆，我想知道兩張桌總共有多少筆，我該怎麼做？

很簡單，我把筆放在一起，然後從新數一遍我就知道總共有七支筆。我把這個放在一起算的動作稱為「加」，我剛才做的就叫做「三加四」，並得到「七」。

而如果我原本桌上有七支筆，我拿走了四支放回百寶袋，我會數得到桌上只剩三支筆。把「拿走」稱為「減」，我做的就叫「七減四」，並得到「三」。

和「從沒有筆拿走一支筆」一樣，我無法想像我到底要怎麼從只有三支筆拿走四支筆。換言之，「三減四」在筆的故事裏沒有任何意義﹗

回到跑道的故事，一切的問題都迎刃而解。）

問題三：

從最後這幅圖看，似乎只要我繼續畫下去，我能夠填滿整個跑道，不留一絲縫隙。

古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）認為我的猜想是對的。你認同嗎？試闡釋你的想法。