數學隨想

第一章    數字

1.1    自然數

「腦袋放空，開始做白日夢，夢裏盡是數學。」

1.1.1        從一開始

坐在舒適的椅子上，跟前是一張工作案。

我把案檯掃空，上面什麼也沒有。

我的口袋是百寶袋，想找什麼就有什麼。於是我找啊找，找到了一支筆，把它放到桌上，然後說：「這是一支筆。」

這樣說有點累贅，我改說：「一支筆。」

其實我可以從百寶袋拿其他東西出來。如果我餓了，我會拿出一個漢堡；如果我睏了，我會拿出一隻綿羊；如果我瘋了，我會拿出一隻恐龍（然後希望它是草食恐龍）。

所以，筆不是重點。無論我拿什麼，都一樣。

現在我說：「一」。

1.1.2        然後是「二」到「九」

放上一支筆後（最後我還是拿出了一支筆，只是因為我需要它來幫助我想數學），案上還是有一大片空位。我又再找百寶袋，拿出了另一支筆放到桌上。現在桌上有「一支又再多一支筆」。

        好繞口。

        我嘗試起一個名字。在「啊啊依依」隨便地發一些聲後，我把它取名為「二」。

        之後我每一次再找百寶袋，我都會找到多一支筆。當一支又一支的筆放到案上時，我又再嘗試為它們取名：「三」、「四」、「五」、「六」、「七」、「八」、「九」。我有了一大組名字，我把這組名字歸納起來並取名：「數字」。而我有太多數字了，我想把這些數字用簡單的符號記錄下來：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,?

1.1.3        十位數

我畫著上面那些符號，發現這是一個不會完結的過程：我不能一直創造新的符號去描述案上越來越多的筆。

就拿「九」來說，「九」再多一支筆，或者我還能用「十」這個字表達，但我已經不想再為「十」創造新的符號。我必需想一個方法解決現在的困境。我再找找百寶袋看看有什麼其他可用的東西。於是我找到了一個橡皮圈，我用它把十支筆束起然後說：「一束」。

橡皮圈看起來就是個圈，於是我用這個符號表示：

0

而「一束」則用以下符號表示：

10

在「九」之後，現在有了「一束」、「一束又一支」、「一束又二支」、……、「一束又九支」：

10 1, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7, 10 8, 10 9

這樣寫不是很好。就拿「一束又一支」來說，我把「10 1」組合起來，並寫成：

11

上面的符號是兩個「1」連在一起，而兩個1的意思是不同的。前面的「1」是一束，後面的「1」是一支。

        很自然地，「19」，也就是「一束又九支」之後再放一支筆的話，我會再把新的十支筆束成新的一束，於是得到兩束筆，並以以下符號表示：

20

繼續下去的話，我就能寫下由「1」到「99」的數字。

1.1.4        之後呢？

現在我知道當我說「99」，我就是知道案上有「九束再九支」。而當我再放一支筆，我就有九束再十支，也就是十束筆。因為我有「10」這個符號代表「十」，理所當然地我能用「100」來表示「十束」。但同時我也記得，在創造「10」的時候，我用了一塊橡皮圈把「十支筆」束起成為「一束」。同理，我也可以將「十束筆」用更大的一塊橡皮圈把「十束筆」束起成為「一大束」。

所以，當我說案上有「689」支筆的時候，我同時也在說：案上有「六大束筆」再「八束筆」再「九支筆」。

1.1.5        問題

問題一：

用橡皮圈束筆的故事還可以繼續說下去。但是，途中我還會遇上一些問題。

「999」之後再放一支筆，就會得到「十大束筆」。再用一塊更大的橡皮圈把十大束筆束起，就會得到「一大大束筆」。很明顯這樣的命名方法看起來十分笨拙，於是我用另一個方法：最小的一束叫做「一級束」、「大束」叫「二級束」、「大大束」叫「三級束」，如此類推。問題在「十級束」時浮現。這裏「十級束」中的「十」是什麼意思？（顯然這個「十」並非將十個「一級束」束在一起﹗）

問題二：

事實上我這裏說的是所謂「十進制」的數字。請試著把這個放筆的故事為「二進制」的數字重說一次，並試以之解釋以下等式：

問題三：

試以以上筆的故事闡釋什麼是「加」、什麼是「減」。

問題四：

試以另外一個全新的故事構作自然數1,2,3,4,…。

（上述放筆的故事展示了構作自然數的方法。它並非最好的故事——當我想把它說下去，開始構作其他非自然數的數字，它將有很大的局限。下一節將會更詳盡說下去。）